冪集公理的第一種表述:设$X$和$Y$是集合，从$X$到$Y$的一切函数形成一个集合.

 

 

冪集公理的第二種表述:一个集合的所有子集可以形成一个集合.

 

 

由第一種表述推導出第二種表述是容易的(怎麼個容易法?提示:令$Y=\{0,1\}$,然后再使用ZF集合论里的代替公理和分离公理).下面结合其它公理,由第二種表述推出第一種表述：$X$和$Y$之间形成笛卡尔乘积$X\times Y$.$X\times Y$的所有子集形成一个集合,根据ZF集合論中的分離公理,分别把各个满足垂线判别法的$X\times Y$的子集取出,形成一个集合.這個集合就是從$X$到$Y$的一切函數形成的集合(根據的是ZF公理中的代替公理).

 

 

注:這不由得讓我想起函數的定義來.陶哲軒是用公理化方法定義函數的,在他那裏,陶採用的是範疇論的觀點,函數當作一個新引進的對象,這個對象把一個輸入變成相應的唯一的產出(見陶哲軒實分析第38頁).而通過這道題目,我們發現函數也可以不用公理化的方法來定義,我們可以把函數定義爲兩個集合的笛卡爾乘積的一個特殊子集(滿足垂線判別法).(也許有人會打破砂鍋問到底地問:那兩個集合的笛卡爾乘積又是什麼呢?答案很簡單:兩個集合A和B的笛卡爾乘積是這樣的集合:$\{(x,y)|x\in A,y\in B\}$,而$(x,y)$又是什麼呢?這又很簡單,根據 即可知曉答案.那爲什麼$\{(x,y)|x\in A,y\in B\}$會是一個集合呢?根據的是ZF集合論裏的並集公理(怎麼使用並集公理?))